2.2 Наименование проекта: численные методы решения экстремальных задач обработки данных (1998-2000)

2.3 Ключевые слова: обратные задачи, методы решения, алгоритмические основы регуляризации, сглаживание, подавление шумов.

2.4 Цели, задачи и актуальность проекта.

Основной целью предлагаемого проекта является проведение следующих фундаментальных исследований.

1. Разработка эффективных численных методов решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений, неравенств и задач линейного программирования.
2. Разработка устойчивых методов решения задачи вычисления значений оператора при наличии больших шумов и априорных ограничений. Учет специфики априорных ограничений для актуализации численных алгоритмов.
3. Разработка методов изогеометрической (т.е. сохраняющей геометрическую форму) аппроксимации функций двух и более переменных на основе сплайнов и дробно-рациональных функций.
4. Разработка алгебраических методов решения специальных интегральных уравнений в задаче чебышевской полиномиальной аппроксимации.
5. Разработка методов гладкой аппроксимации функций сплайнами при наличии ограничений на производные.

Актуальность проекта связана с новизной подходов и методов оценивания точности восстановления значений неограниченных операторов на решениях линейных и нелинейных операторных уравнений первого рода регуляризации. Разработанные методы будут применены для эффективной оценки погрешности решений рассматриваемых задач, в частности, в условиях недифференцированности стабилизирующих функционалов (типа полной вариации), а также некоторых неклассических задач линейной алгебры и линейного программирования. Это приведет к существенному расширению области применимости математических методов к решению практических (в том числе – неустойчивых) задач.

2.5 Полученные в 1999 году результаты.

Профессором В.А. Морозовым разработаны проблемы оценивания точности восстановления значений неограниченного оператора на решениях линейных (при наличии ограничений) и нелинейных операторных уравнений первого рода некоторыми регулярными методами: регуляризации, оптимальной невязки, квазирешений и их обобщений при наличии некоторых условий гладкости их решений типа обобщенной истокообразности. На классе задач полученные оценки имеют не улучшаемый характер и существенно обобщают ранее полученные результаты. Получены оценки погрешности приближенных решений специальных неустойчивых проблем: операторных уравнений с нормально разрешимым оператором, а также некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования. Особенностью последних оценок является совпадение их порядков с порядком погрешности входных данных рассматриваемых задач.

Установлены необходимые и достаточные условия сильной сходимости регуляризованных решений при наличии лишь слабой аппроксимации правых частей уравнений. Рассмотрена задача восстановления зашумленных сигналов в рамках проблемы вычисления значений неограниченного оператора с использованием метода регуляризации А.Н.Тихонова, рассмотрен способ выбора параметров регуляризации, как теоретически обоснованных, так и прагматических, основанных на некоторых интуитивных соображениях с использованием некоторых априорных сведений о структуре искомого полезного сигнала, как во временной так и в частотной областях.

На основе идей, предложенных ранее в работах авторов: А.Ю Иваницкого, В.А. Морозова, В.Н. Кармазина будет рассмотрен один из вариантов метода поточечной невязки, позволяющий устойчивым образом определить псевдорешение и меру несовместимости системы линейных алгебраических уравнений и неравенств. Показано, что аппроксимация псевдорешений систем линейных алгебраических уравнений и неравенств приближенными псевдорешениями, полученными методом поточечной невязки, имеют такой же порядок точности, что и порядок погрешности входных данных.

Для решения некоторых обратных задач электроэнцефалографии сплайн- аппроксимационным методом (автор А.И.Гребенников) разработана общая физическая модель, представляющая пространственное распределение потенциального поля, вызванное электрической активностью мозга.

Математическая модель основана на теории потенциала и методе граничных интегральных уравнений. Преимуществом такого подхода является возможность учета сложной геометрической модели и возможность расчета поля и его характеристик в произвольной точке рассматриваемой области.

Такой подход оказался достаточно эффективным при решении ряда задач медицинской диагностики, в том числе для локализации электрической активности при эпилепсиях, травмах, инсультах, опухолях. Однако, часто при диагностике и исследованиях функционирования мозга необходимо более

детальное знание распределения электромагнитного поля, описываемого более

общей физической и математической моделями.

Другие аспекты изучаемых обратных задач элекроэнцефалографии (А.И. Гребенников, А.Ф. Кольер), включающие физическую модель функционирования головного мозга, его математическую и геометрическую модель и модель окружающей его среды, включая численную, программную, информационно-компьютерную инфраструктуру объекта, изложены в приводимой ниже работе указанных авторов. Работа выполнена частично в рамках программы Российско-Мексиканского сотрудничества МГУ им. М.В. Ломоносова и Заслуженного Независимого университета г. Пуэблы, Мексика.

С. Ф. Гилязовым и В.В. Черным впервые в научной литературе доказана слабая и сильная сходимость регуляризующего алгоритма на основе итерационного метода проекции сопряженных градиентов для решения нелинейных некорректных операторных уравнений первого рода, решение которых априорно принадлежит выпуклому замкнутому множеству.

В развитие этого подхода В.В. Черным обоснован регуляризующий алгоритм на основе итерационного метода сопряженных градиентов для решения линейных некорректных операторных уравнений первого рода. Устойчивость по отношению к возмущениям правой части достигается за счет применения критерия невязки при сглаживании и для останова итераций метода сопряженных градиентов.

В 2000 году предполагается дальнейшее развитие и уточнение полученных результатов с целью их детализации и конкретизации применительно к теоретическим и прикладным проблемам. Полученные коллективом результаты, изложенные в данном пункте, полностью отражены в ОПИСАНИИ ПРОЕКТА ( ФОРМА 2.2, п.3.2)

Описание проекта

3. Техническое задание на выполнение НИР в 2000 году.

3.1 Предмет исследований:

создание общей теории, специальных методов регуляризации, робастных алгоритмов, эффективного программного обеспечения, разработка новых численных методов решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений, неравенств и задач линейного программирования (в том числе – несобственных); создание эффективных вариантов аппроксимации и фильтрации при вычислении значений неограниченных операторов, при наличии значительных шумов в исходной информации.

Основное назначение планируемых результатов состоит как в создании общей теории, так и в разработке алгоритмов и программного обеспечения для ряда типовых задач обработки данных.

Планируемые результаты могут быть применены в теоретических исследованиях задач вычислительной математики, разработке методов и алгоритмов, подготовке специальных курсов лекций для студентов и аспирантов.

3.2.2 Методы исследования:

теоретические исследования и численное моделирование, реализация алгоритмов и программирование, развитие методов функционального и математического анализа, использование теории и методов решения экстремальных неустойчивых задач, метода регуляризации А.Н. Тихонова и других экстремальных методов регуляризации; использование дескриптивной регуляризации при наличии специфической априорной информации качественного характера.

3.2.3, 3.2.4 Содержание этих пунктов детально отражено в п.2.4 и в п.2.5 аннотации Заявки (ФОРМА 2, раздел 2)

3.2.5 Приложения:

иллюстрации, схемы, таблицы отражены непосредственно в текстах статей.

3.2.6 Список опубликованных в 1999 году работ:

4.3 Разработка и теоретическое обоснование приближенных устойчивых методов решения операторных уравнений при наличии априорной информации о точном решении; получение условий существования и устойчивости регуляризованных решений и точечные оценки .

4.5 Получение новых оценок точности собственных значений для матриц специальных видов в задачах линейной и обобщенной проблемы собственных значений.

5. Финансово-экономическое обоснование на 2000 год.

6.3 Регулярно работал Диссертационный Совет МГУ на базе НИВЦ МГУ по защите кандидатских диссертаций ( Председатель Совета проф. В.А. Морозов)

8.1 Квалификация и опыт работ в данной области:

8.2 Кадровый потенциал:

Профессор Морозов В.А. является широко известным ученым в стране и за рубежом. Он неоднократно выступал на международных конгрессах, конференциях, симпозиумах по тематике своих научных исследований, а также входил в оргкомитеты общественных и международных форумов ученых. Он активно участвовал в выполнении и научном руководстве ряда программ и научно-исследовательских проектов. При его участии и руководстве созданы большие комплексы и библиотеки программ для решения научных и актуальных народно-хозяйственных проблем, имеющие существенный

экономический и коммерческий эффект. Эти работы отмечены Почетным дипломом и Золотой медалью ВДНХ, в том числе личный вклад Морозова В.А.

– двумя серебряными медалями и одной бронзовой.

Гребенников Александр Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией численных методов, работает в НИВЦ МГУ.

Основные направления исследований: сплайны, сглаживание, аппроксимационные алгоритмы.

Гребенников А.И. Сходимость сплайн-аппроксимационного метода для больших погрешностей. Сб. Численные методы анализа. М. МГУ, 1997.

Гилязов Сергей Фаршатович, кандидат физико-математических наук, зав. Лабораторией, работает в НИВЦ МГУ.

Основные направления исследований: приближенные решения некорректно поставленных задач, итерационные методы, регуляризованные решения.

Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М. МГУ, 1997.

Кармазин Владимир Николаевич, кандидат физико-математических наук, декан факультета прикладной математики и экономики Кубанского государственного университета.

Основные направления исследований: алгоритмы решения неустойчивых систем алгебраических уравнений и неравенств.

8.3 Наличие оборудования, необходимого для реализации данного проекта:

За отчетный период получены следующие важнейшие результаты.

Введены и исследованы классы эквивалентных аппроксимационных соотношений, найдены характерные их представители. С помощью ранее введенных коллективом минимальных А-сплайнов и аппарата обобщенной непрерывности удалось выделить интерполяционные задачи, допускающие прямое решение. Изучены новые интерполяционные задачи, допускающие прямое решение с помощью минимальных сплайнов (без решения каких-либо систем линейных алгебраических уравнений). Полностью описан весь класс упомянутых задач и соответствующих им минимальных сплайнов. В частности, выделены интерполяционные задачи, допускающие прямое решение с помощью В-сплайнов. Полученные результаты значительно расширяют возможности для быстрого решения общих некорректных задач аппроксимации и сглаживания методами тихоновской регуляризации. Проведенные исследования родолжают развитие направления, в котором работает коллектив ряд лет. В результате представлен широкий выбор сплайнов с различными интерполяционными и аппроксимативными свойствами, позволяющий сделать новый шаг на пути оптимизации вычислительного процесса решения некорректных задач аппроксимации и сглаживания и

повысить надежность численного счета. Развитие теории минимальных сплайнов привело к появлению двух новых направлений в этой области: направления, связанного с построением минимальных сплайнов на конечой сетке, что повлекло в свою очередь

построение и разработку теории граничных минимальных сплайнов, а также направления, связанного с созданием общей теории минимальных сплайнов. Благодаря этим исследованиям расширяются классы минимальных сплайнов, что в перспективе приведет к

дальнейшей оптимизации вычислений как в некорректных задачах аппроксимации и сглаживания, так и при применении их в приближенных методах решения задач математической физики, построение которых использует разработанные здесь системы

координатных функций. Весьма существенным продвижением является исследование новых интерполяционных задач, имеющих прямое решение в классах минимальных сплайнов. Из сказанного ясно, что результаты являются актуальными и новыми.

Аналоги подобных исследований не известны. В практике исследований сплайнов данным коллективом выделены и изучены минимальные сплайны с интерполяционным базисом впервые; этой проблеме освящено большое количество опубликованных этим

коллективом статей в основных отечественных и в ряде зарубежных журналах, а также монографии и курсы лекций; полученные здесь результаты являются существенным развитием и углублением разработанной коллективом теории минимальных сплайнов. Таким образом, полученные коллективом результаты находятся на уровне международных достижений.

Известно, что непрерывные сплайны с интерполяционным локальным базисом дают прямое решение соответствующей задачи Лагранжа в том смысле, что для определения интерполирующего сплайна не требуется решать систему линейных алгебраических

уравнений, порядок которой равен числу узлов интерполяции. Возникает вопрос, не соответствует ли каждому типу минимальных сплайнов своя интерполяционная задача, для которой упомянутый тип сплайнов позволяет получить прямое решение.

Положительный ответ на этот вопрос содержится в выполненной коллективом работе. Здесь введено понятие обобщенной непрерывности (которая обобщает обычную непрерывность функций) с тем, чтобы интерполировать в пространстве обобщенно-непрерывных функций. Далее рассматриваются условия обобщенной непрерывности А-сплайнов, введенных коллективом ранее; последние используются для построения

минимальных сплайнов с локальным интерполяционным базисом, дающим прямое решение упомянутой выше интерполяции. В результате найдены полиномиальные

сплайны, пригодные для прямого решения некоторых новых интерполяционных задач (в частности, широко известные В-сплайны дают прямые решения при определенных интерполяциях).

Наиболее простыми приближениями являются линейные комбинации базисных функций, полученных из одной функции целочисленным сдвигом ее аргумента. Если упомянутая функция удовлетворяет аппроксимационным соотношениям и имеет определенный носитель, то такие линейные комбинации называются минимальными сплайнами нулевой высоты с трансляционным базисом.

Они позволяют получить простые алгоритмы приближения и интерполяции. С этой точки зрения первоначально изучались полиномиальные сплайны той или иной степени с интерполяционным локальным базисом. Включение произвольных вещественных (или

комплексных) параметров в аппроксимационные соотношения привело к существенному расширению множества рассматриваемых сплайнов, имеющих одинаковый порядок приближения, но вообще говоря, различные свойства устойчивости и различные

константы приближения. В указанное множество попали широко известные В-сплайны, а также разрывные сплайны. Заметим, что единственными сплайнами максимальной гладкости оказались B-сплайны; хотя эти сплайны имеют неплохие константы устойчивости, однако, выяснилось, что наилучшей устойчивостью (и тем же порядком аппроксимации) в этом множестве обладают опреде ленные разрывные сплайны. Здесь

изучены сплайны с трансляционным базисом и даны необходимые и достаточные условия их существования.

Введено также понятие чебышевской системы относительно цепочки функционалов и изучены их свойства в связи со свойствами упомянутых выше сплайнов.

3.2.4 Новизна полученных результатов:

результаты разработок представляют собой самые последние достижения в исследуемой области.